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全国奥林匹克数学初二竞赛题

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。

(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；

(2)若AD＝1，BC＝3，DC＝，试判断△DCF的形状；

(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.

（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.

①求证：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC=60°，AM=4，求点M到AD的距离；

（2）如图25－2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”．

正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2关于C左转弯运动到P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，……．

（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置；

（2）连接P1A、P1B，判断△ABP1与△ADP之间有怎样的关系？并说明理由。

(3)以D为原点、直线AD为轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A、P两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P4、P2009、P2010三点的坐标．

4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.

（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；

（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？

（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？

5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．

(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．

(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?

(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。

6、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求∠E的度数。

7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。

1、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，

∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，

∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），

∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC-AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，

∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-，PB=3+2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠1=∠2．又∵AN=AN，

∴△ABN≌△ADN．

②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．

在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2．∴点M到AD的距离为2．

∴AH=2．∴DH=6+2=8．

（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°．

下面分三种情形：（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．

此时，点M恰好与点B重合，得x=6；