C.3D.4

答案：B解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形，如图，由题意可知，直线BE与直线CF是异面直线，不正确，因为E，F分别是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线，满足异面直线的定义，正确;直线EF平面PBC，由E，F是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD，故不正确.故选B.

技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力.解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的.

二、填空题

7.如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，则异面直线BC与AE所成角的大小为________.

答案：45°解题思路：因为BCAD，所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角.

因为平面ABCD平面CEFB，且ECCB，

所以EC平面ABCD.

在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.

在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.

又因为EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.

故异面直线BC与AE所成的角为45°.

8.给出命题：

异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;

两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;

两异面直线a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;

两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.

上述命题中，真命题的序号是________.

答案：解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题为假命题;若bα，则ab，即a，b共面，这与a，b为异面直线矛盾，故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题为假命题.

9.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为________.

答案：16命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.

解题思路：设球心到底面的距离为x，则底面边长为，高为x+3，正六棱锥的体积V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，则V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.

10.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，则三棱锥与球的体积之比为________.

答案：命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.

解题思路：依题意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·SABC=_R__R_R=R3.而球的体积V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.

三、解答题

11.如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A平面ABCD.

(1)求证：A′C平面BDE;

(2)求证：平面A′AC平面BDE.

解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直.

解析：(1)设AC交BD于M，连接ME.

四边形ABCD是正方形，

M为AC的中点.

又E为A′A的中点，

ME为A′AC的中位线，

ME∥A′C.

又ME?平面BDE，

A′C?平面BDE，

A′C∥平面BDE.

(2)∵四边形ABCD为正方形，BD⊥AC.