如果恰有三个不同质因数,那么约数最多的是22×3×5=60,22×3×7=84和2×32×5=90,各有12个约数。
所以100以内约数最多的自然数是60,72,84,90和96。
48.写出三个小于20的自然数,使它们的最大公约数是1,但两两均不互质。
解:6,10,15
49.有336个苹果、252个桔子、210个梨,用这些果品最多可分成多少份同样的礼物?在每份礼物中,三样水果各多少?
解:42份;每份有苹果8个,桔子6个,梨5个。
50.三个连续自然数的最小公倍数是168,求这三个数。
解:6,7,8。
提示:相邻两个自然数必互质,其最小公倍数就等于这两个数的乘积。
而相邻三个自然数,若其中只有一个偶数,则其最小公倍数等于这三个数的乘积;若其中有两个偶数,则其最小公倍数等于这三个数乘积的一半。
51.一副扑克牌共54张,最上面的一张是红桃K。
如果每次把最上面的12张牌移到最下面而不改变它们的顺序及朝向,那么,至少经过多少次移动,红桃K才会又出现在最上面?
解:因为[54,12]=108,所以每移动108张牌,又回到原来的状况。
又因为每次移动12张牌,所以至少移动108÷12=9(次)。
52.爷爷对小明说:“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”你知道爷爷和小明现在的年龄吗?
解:爷爷70岁,小明10岁。
提示:爷爷和小明的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数,又考虑到年龄的实际情况,取公倍数中最小的。
(60岁)
53.某质数加6或减6得到的数仍是质数,在50以内你能找出几个这样的质数?并将它们写出来。
解:11,13,17,23,37,47。
54.在放暑假的8月份,小明有五天是在姥姥家过的。
这五天的日期除一天是合数外,其它四天的日期都是质数。
这四个质数分别是这个合数减去1,这个合数加上1,这个合数乘上2减去1,这个合数乘上2加上1。
问:小明是哪几天在姥姥家住的?
解:设这个合数为a,则四个质数分别为(a-1),(a+1),(2a-1),(2a+1)。
因为(a-1)与(a+1)是相差2的质数,在1~31中有五组:3,5;5,7;11,13;17,19;21,31。
经试算,只有当a=6时,满足题意,所以这五天是8月5,6,7,11,13日。
55.有两个整数,它们的和恰好是两个数字相同的两位数,它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。
求这两个整数。
解:3,74;18,37。
提示:三个数字相同的三位数必有因数111。
因为111=3×37,所以这两个整数中有一个是37的倍数(只能是37或74),另一个是3的倍数。
56.在一根100厘米长的木棍上,从左至右每隔6厘米染一个红点,同时从右至左每隔5厘米也染一个红点,然后沿红点处将木棍逐段锯开。
问:长度是1厘米的短木棍有多少根?
解:因为100能被5整除,所以可以看做都是自左向右染色。
因为6与5的最小公倍数是30,即在30厘米处同时染上红点,所以染色以30厘米为周期循环出现。
一个周期的情况如下图所示:
由上图知道,一个周期内有2根1厘米的木棍。
所以三个周期即90厘米有6根,最后10厘米有1根,共7根。