∴＝，即△BHC是直角三角形，且∠HBC＝90°，

∴HB⊥BC，∴BC⊥面DHB，∵BD⊂面DHB，∴BC⊥BD，

∵在三棱台DEF﹣ABC中，EF∥BC，∴EF⊥DB．

（Ⅱ）设BC＝1，则BH＝1，HC＝，

在Rt△DHC中，DH＝，DC＝2，

在Rt△DHB中，DB＝＝＝，

作HG⊥BD于G，∵BC⊥HG，∴HG⊥面BCD，∵GC⊂面BCD，

∴HG⊥GC，∴△HGC是直角三角形，且∠HGC＝90°，

设DF与面DBC所成角为θ，则θ即为CH与面DBC的夹角，

且sinθ＝sin∠HCG＝＝，

∵在Rt△DHB中，DH•HB＝BD•HG，

∴HG＝＝＝，

∴sinθ＝＝＝．

20．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an，cn+1＝•cn（n∈N*）．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3，求q与an的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1+c2+…+cn＜1+．

【分析】本题第（Ⅰ）题先根据等比数列的通项公式将b2＝q，b3＝q2代入b1+b2＝6b3，计算出公比q的值，然后根据等比数列的定义化简cn+1＝•cn可得cn+1＝4cn，则可发现数列{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列{cn}的通项公式，然后将通项公式代入cn+1＝an+1﹣an，可得an+1﹣an＝cn+1＝4n，再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{an}的通项公式；

第（Ⅱ）题通过将已知关系式cn+1＝•cn不断进行转化可构造出数列{bnbn+1cn}，且可得到数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，从而可得bnbn+1cn＝1+d，再计算得到cn＝，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立．

【解答】（Ⅰ）解：由题意，b2＝q，b3＝q2，

∵b1+b2＝6b3，∴1+q＝6q2，

整理，得6q2﹣q﹣1＝0，

解得q＝﹣（舍去），或q＝，

∴cn+1＝•cn＝•cn＝•cn＝•cn＝4•cn，

∴数列{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列，

∴cn＝1•4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*．

∴an+1﹣an＝cn+1＝4n，

则a1＝1，

a2﹣a1＝41，

a3﹣a2＝42，

•

•

•

an﹣an﹣1＝4n﹣1，

各项相加，可得

an＝1+41+42+…+4n﹣1＝＝．

（Ⅱ）证明：依题意，由cn+1＝•cn（n∈N*），可得

bn+2•cn+1＝bn•cn，

两边同时乘以bn+1，可得

bn+1bn+2cn+1＝bnbn+1cn，