空气质量不好

附：K2＝

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；

（3）由公式计算k的值，从而查表即可，

解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为2的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为3的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为4的概率为：＝；

（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；

（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，

人次≤400 人次＞400 总计

空气质量好 33 3770

空气质量不好 22 8 30

总计 5545100

由表中数据可得：K2＝＝≈5.802＞3.841，

所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．

（1）证明：点C1在平面AEF内；

（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．

【分析】（1）在AA1上取点M，使得A1M＝2AM，连接EM，B1M，EC1，FC1，由已知证明四边形B1FAM和四边形EDAM都是平行四边形，可得AF∥MB1，且AF＝MB1，AD∥ME，且AD＝ME，进一步证明四边形B1C1EM为平行四边形，得到EC1∥MB1，且EC1＝MB1，结合AF∥MB1，且AF＝MB1，可得AF∥EC1，且AF＝EC1，则四边形AFC1E为平行四边形，从而得到点C1在平面AEF内；

（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面AEF的一个法向量与平面A1EF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣EF﹣A1的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．

【解答】（1）证明：在AA1上取点M，使得A1M＝2AM，连接EM，B1M，EC1，FC1，

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有DD1∥AA1∥BB1，且DD1＝AA1＝BB1．

又2DE＝ED1，A1M＝2AM，BF＝2FB1，∴DE＝AM＝FB1．

∴四边形B1FAM和四边形EDAM都是平行四边形．

∴AF∥MB1，且AF＝MB1，AD∥ME，且AD＝ME．

又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AD∥B1C1，且AD＝B1C1，

∴B1C1∥ME且B1C1＝ME，则四边形B1C1EM为平行四边形，

∴EC1∥MB1，且EC1＝MB1，

又AF∥MB1，且AF＝MB1，∴AF∥EC1，且AF＝EC1，

则四边形AFC1E为平行四边形，

∴点C1在平面AEF内；

（2）解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以C1为坐标原点，

分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AB＝2，AD＝1，AA1＝3，2DE＝ED1，BF＝2FB1，

∴A（2，1，3），B（2，0，2），F（0，1，1），A1（2，1，0），