人次≤400 人次＞400 总计

空气质量好 33 3770

空气质量不好 22 8 30

总计 5545100

由表中数据可得：K2＝＝≈5.802＞3.841，

所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：

（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；

（2）点C1在平面AEF内．

【分析】（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，可得AC⊥平面BB1D1D，因为EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC．

（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接DM，C1F，MF．根据已知条件可得四边形AED1M为平行四边形，得D1M∥AE，再推得四边形C1D1MF为平行四边形，所以D1M∥C1F，根据直线平行的性质可得AE∥C1F，所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内．

解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以BB1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1，

因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，所以ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩BB1＝B．

所以AC⊥平面BB1D1D，又因为点E，F分别在棱DD1，BB1上，所以EF⊂平面BB1D1D，

所以EF⊥AC．

（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接D1M，C1F，MF．

因为点E在DD1，且2DE＝ED1，所以ED∥AM，且ED＝AM，

所以四边形AED1M为平行四边形，所以D1M∥AE，且D1M＝AE，

又因为F在BB1上，且BF＝2FB1，所以 A1M∥FB1，且A1M＝FB1，

所以A1B1FM为平行四边形，

所以FM∥A1B1，FM＝A1B1，即FM∥C1D1，FM＝C1D1，

所以C1D1MF为平行四边形，

所以D1M∥C1F，

所以AE∥C1F，所以A，E，F，C1四点共面．

所以点C1在平面AEF内．

20．已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k的不等式组，解出即可．

解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，

k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，

k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，

令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，

∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，

综上，k≤0时，f（x）在R递增，

k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增；

（2）由（1）得：k＞0，f（x）极小值＝f（），f（x）极大值＝f（﹣），