∴bn+1﹣bn=1．

∴{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列．

设{（﹣1）nbn2}的前n项和为Tn，则

Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）

=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n

==

=2n2．

【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．

【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；

（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值．

【解答】解：（1）由+=，

得+=，

即=，

∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．

∴椭圆方程为；

（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），

设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），

∵∠MOA=∠MAO，

∴x0=1，

再设H（0，yH），

联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．

△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．

由根与系数的关系得，

∴，，

MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），

令x=0，得yH=（k+）x0﹣2k，

∵BF⊥HF，

∴，

即1﹣x1+y1yH=1﹣[（k+）x0﹣2k]=0，

整理得：=1，即8k2=3．

∴k=﹣或k=．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．

20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；

（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．

【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；