则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．

由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），

由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，

即m（a）=；

（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；

当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}

=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．

则M（a）=．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19．（15分）

【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【分析】（Ⅰ）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．

（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，

得x1=0或x2=，

直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：=．

（Ⅱ）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，

记直线AP，AQ的斜率分别为：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|=，|AQ|=，

故：=，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2，

k1，k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0，

因此a2（a2﹣2）①，

因为①式关于k1，k2；的方程有解的充要条件是：1+a2（a2﹣2）＞1，

所以a＞．

因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜2，

e==得，所求离心率的取值范围是：．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．

20．（15分）

【考点】数列与不等式的综合．菁优网版权所有

【分析】（I）使用三角不等式得出|an|﹣|an+1|≤1，变形得﹣≤，使用累加法可求得＜1，即结论成立；

（II）利用（I）的结论得出﹣＜，进而得出|an|＜2+（）m•2n，利用m的任意性可证|an|≤2．

【解答】解：（I）∵|an﹣|≤1，∴|an|﹣|an+1|≤1，

∴﹣≤，n∈N*，

∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤+++…+==1﹣＜1．

∴|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．

（II）任取n∈N*，由（I）知，对于任意m＞n，

﹣=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

≤++…+=＜．

∴|an|＜（+）•2n≤[+•（）m]•2n=2+（）m•2n．①

由m的任意性可知|an|≤2．

否则，存在n0∈N*，使得|a|＞2，