【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．

∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．

∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，

∴∠PAC=∠CAB．

（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，

∴=．

∴AC2 =AP•AB．

【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．（2017•江苏）已知矩阵A=，B=．

（1）求AB；

（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．

【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；

（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．

【解答】解：（1）AB==，

（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，

点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），

则=，即x0=2y，y0=x，

∴x=y0，y=，

∴，即x02+y02=8，

∴曲线C2的方程为x2+y2=8．

【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．

【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，

∴P到直线l的距离d==，

∴当s=时，d取得最小值=．

【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．

［选修4-5：不等式选讲］

24．（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．

【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．

【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，

令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．

∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．

因此ac+bd≤8．

另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．

∴﹣8≤ac+bd≤8．