（2）证明：b2＞3a；

（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．

【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．

（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；

（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．

【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，

所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，

令g′（x）=0，解得x=﹣．

由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；

所以f′（x）的极小值点为x=﹣，

由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，

所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，

所以b=+（a＞0）．

因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，

所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，

所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，

所以b=+（a＞3）．

（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），

由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；

（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，

设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，

所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2

=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2

=﹣+2，

又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，

所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，

因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，

所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，

所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，

由于a＞3时2a2+12a+9＞0，

所以a﹣6≤0，解得a≤6，

所以a的取值范围是（3，6]．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．

二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）

21．（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．

求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC2 =AP•AB．

【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．

（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．