甲70560

乙60525

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；

（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．

该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：

（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．

考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．

为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．

又∵x，y满足约束条件，

∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组，得点M的坐标为（6，3）．

∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．

【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．

17．（13分）（2017•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．

（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．

（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．

（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，

故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．

因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．

在Rt△PDA中，由已知，得，

故．

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．

证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，

所以AD⊥PD．

又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，

又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．

解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，

所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．