由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，

由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，

在Rt△DCF中，可得．

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．

【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．

18．（13分）（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．

【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．

（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．

【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．

由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．

由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，

由此可得an=3n﹣2．

所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为．

（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n﹣2，有，，

上述两式相减，得=．

得．

所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．

【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．

19．（14分）（2017•天津）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，

（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．

【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；

（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；

（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），

令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）

f'（x）+﹣+

f（x）↗↘↗

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；

（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由题意知，

∴，解得．

∴f（x）在x=x0处的导数等于0；

（ii）解：∵g（x）≤ex，x∈[x0﹣1，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．