又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，

故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．

另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，

由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，

故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．

由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．

令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，

∴t'（x）=6x2﹣12x，

令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．

∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．

∴b的取值范围是[﹣7，1]．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．

20．（14分）（2017•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．

（i）求直线FP的斜率；

（ii）求椭圆的方程．

【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．

（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．

所以，椭圆的离心率为；

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．

由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．

由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．

（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．

由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．

因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．

所以，椭圆的方程为．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．