=(1﹣x+)e﹣x=(1﹣x)(1﹣
)e﹣x;
(2)由f(x)的导数f′(x)=(1﹣x)(1﹣)e﹣x,
可得f′(x)=0时,x=1或,
当<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;
当1<x<时,f′(x)>0,f(x)递增;
当x>时,f′(x)<0,f(x)递减,
且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔(x﹣1)2≥0,
则f(x)≥0.
由f()=
e
,f(1)=0,f(
)=
e
,
即有f(x)的最大值为e
,最小值为f(1)=0.
则f(x)在区间[,+∞)上的取值范围是[0,
e
].
【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导是解题的关键,属于中档题.
21.(15分)如图,已知抛物线x2=y,点A(﹣,
),B(
,
),抛物线上的点P(x,y)(﹣
<x<
),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;
(Ⅱ)求|PA|•|PQ|的最大值.
【分析】(Ⅰ)通过点P在抛物线上可设P(x,x2),利用斜率公式结合﹣<x<
可得结论;
(Ⅱ)通过(I)知P(x,x2)、﹣<x<
,设直线AP的斜率为k,联立直线AP、BP方程可知Q点坐标,进而可用k表示出
、
,计算可知|PA|•|PQ|=(1+k)3(1﹣k),通过令f(x)=(1+x)3(1﹣x),﹣1<x<1,求导结合单调性可得结论.
【解答】解:(Ⅰ)由题可知P(x,x2),﹣<x<
,
所以kAP==x﹣
∈(﹣1,1),
故直线AP斜率的取值范围是:(﹣1,1);
(Ⅱ)由(I)知P(x,x2),﹣<x<
,
所以=(﹣
﹣x,
﹣x2),
设直线AP的斜率为k,则AP:y=kx+k+
,BP:y=﹣
x+
+
,
联立直线AP、BP方程可知Q(,
),
故=(
,
),
又因为=(﹣1﹣k,﹣k2﹣k),
故﹣|PA|•|PQ|=•
=
+
=(1+k)3(k﹣1),
所以|PA|•|PQ|=(1+k)3(1﹣k),
令f(x)=(1+x)3(1﹣x),﹣1<x<1,
则f′(x)=(1+x)2(2﹣4x)=﹣2(1+x)2(2x﹣1),
由于当﹣1<x<﹣时f′(x)>0,当
<x<1时f′(x)<0,
故f(x)max=f()=
,即|PA|•|PQ|的最大值为
.
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,考查运算求解能力,考查函数思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
22.(15分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),证明:当n∈N*时,
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤;
(Ⅲ)≤xn≤
.
【分析】(Ⅰ)用数学归纳法即可证明,
(Ⅱ)构造函数,利用导数判断函数的单调性,把数列问题转化为函数问题,即可证明,