=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；

（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，

可得f′（x）=0时，x=1或，

当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；

当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，

且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，

则f（x）≥0．

由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，

即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．

则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．

21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．

【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x＜可得结论；

（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．

【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，

所以kAP==x﹣∈（﹣1，1），

故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；

（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，

所以=（﹣﹣x，﹣x2），

设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BP：y=﹣x++，

联立直线AP、BP方程可知Q（，），

故=（，），

又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），

故﹣|PA|•|PQ|=•=+=（1+k）3（k﹣1），

所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），

令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，

则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），

由于当﹣1＜x＜﹣时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，

故f（x）max=f（）=，即|PA|•|PQ|的最大值为．

【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

22．（15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，

（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；

（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤；

（Ⅲ）≤xn≤．

【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，

（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，