∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，

则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=

【2014年天津卷（文17）】（本小题满分13分）

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．

（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；

（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，

（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；

（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，

∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，

又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．

又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．

又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，

∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．

∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，

∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；

（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，

∴BD，BA，BP两两垂直，

以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，

则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），

∴=（，﹣，0），=（0，0，），

设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，

故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），

∴=（0，，），∴===﹣，

即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为

【2014年天津卷（文18）】（本小题满分13分）

设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．

解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e==．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）

设P点坐标（csinθ，ccosθ），圆心为O∵PB为直径，∴BF1⊥PF1，

∴k•BF1kPF1=•=﹣1，求得sinθ=﹣或0（舍去），

由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，

cosθ==∴P坐标为（﹣c，c），∴圆心坐标为（﹣c，c），

∴r=|OB|==c，|OF2|==c，

∵r2+|MF2|2=|OF2|2，∴+8=c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1