【2014年天津卷（文19）】（本小题满分14分）

已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），

∵a＞0，∴当x＜0或x时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，

f（x）单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，

当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；

（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．

设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+ ∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅

下面分三种情况讨论：

（1）当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∈B，∴A不是B的子集；

（2）当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A

⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；

（3）当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞， f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]

【2014年天津卷（文20）】（本小题满分14分）

已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．

（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．

（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，xi∈M，i=1，2，3}．

可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．

（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，

∴an﹣bn≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++

≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]

=＜0．

∴s＜t