【2014年天津卷(文19)】(本小题满分14分)
已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣2ax2=2x(1﹣ax),
∵a>0,∴当x<0或x时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0,
f(x)单调递减区间为:(﹣∞,0)和,单调递增区间为,
当x=0时,有极小值f(0)=0,当x=时,有极大值f()=;
(Ⅱ)由f(0)=f()=0及(Ⅰ)知,当x∈(0,)时,f(x)>0;当x∈(,+∞)时,f(x)<0.
设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则对于任意的x1∈(2,+ ∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,等价于A⊆B,显然A≠∅
下面分三种情况讨论:
(1)当>2,即0<a<时,由f()=0可知,0∈A,而0∈B,∴A不是B的子集;
(2)当1≤≤2,即时,f(2)≤0,且f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(﹣∞,f(2)),∴A
⊆(﹣∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(﹣∞,0),即(﹣∞,0)⊆B,∴A⊆B;
(3)当<1,即a>时,有f(1)<0,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=(,0),A=(﹣∞, f(2)),∴A不是B的子集.综上,a的取值范围是[]
【2014年天津卷(文20)】(本小题满分14分)
已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.
(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;
(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.
(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.
可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.
(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,
∴an﹣bn≤﹣1.可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++
≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]
=<0.
∴s<t