解答：解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，xM=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，yQ），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即yQ2=xM•xN，+n2=1yQ2==2，∴yQ=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）

点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．

20．（13分）（2015•北京）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，2，…），记集合M={an|n∈N*}．

（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；

（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

考点：数列递推式．

专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．

分析：（Ⅰ）a1=6，利用an+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）若a1=6，由于an+1=（n=1，2，…），M={an|n∈N*}．故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为ak=2ak﹣1，或ak=2ak﹣1﹣36，所以2ak﹣1是3的倍数；于是ak﹣1是3的倍数；类似可得，ak﹣2，…，a1都是3的倍数；从而对任意n≥1，an是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，an=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．从而当n≥3时，an是2的倍数．如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an是3的倍数．因此当n≥3时，an∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an不是3的倍数．因此当n≥3时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．

点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．