专题:解三角形.
分析:(Ⅰ)由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA,由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解.(Ⅱ)由tanA=,A∈(0,π),可得sinA,cosA.又由正弦定理可得b,由sinC=sin(A+B)=sin(A+
),可得sinC,利用三角形面积公式即可得解.
解答:解:(Ⅰ)由tan(+A)=2.可得tanA=
,所以
=
=
.(Ⅱ)由tanA=
,A∈(0,π),可得sinA=
,cosA=
.又由a=3,B=
及正弦定理
,可得b=3
,由sinC=sin(A+B)=sin(A+
),可得sinC=
.设△ABC的面积为S,则S=
absinC=9.
点评:本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用,同时考查了运算求解能力,属于中档题.
17.(15分)(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+
b3+…+
bn=bn+1﹣1(n∈N*)
(Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
考点:数列的求和.菁优网版权所有
专题:等差数列与等比数列.
分析:(Ⅰ)直接由a1=2,an+1=2an,可得数列{an}为等比数列,由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式;再由b1=1,b1+b2+
b3+…+
bn=bn+1﹣1,取n=1求得b2=2,当n≥2时,得另一递推式,作差得到
,整理得数列{
}为常数列,由此可得{bn}的通项公式;(Ⅱ)求出
,然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn.
解答:解:(Ⅰ)由a1=2,an+1=2an,得.由题意知,当n=1时,b1=b2﹣1,故b2=2,当n≥2时,b1+
b2+
b3+…+
=bn﹣1,和原递推式作差得,
,整理得:
,∴
;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,因此
,两式作差得:
,
(n∈N*).
点评:本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法,以及推理论证能力,是中档题.
18.(15分)(2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(Ⅰ)证明:A1D⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
考点:直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有
专题:空间位置关系与距离;空间角.
分析:(I)连接AO,A1D,根据几何体的性质得出A1O⊥A1D,A1D⊥BC,利用直线平面的垂直定理判断.(II)利用空间向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量=(
,0,1),|根据与
数量积求解余弦值,即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
解答:证明:(I)∵AB=AC=2,D是B1C1的中点.∴A1D⊥B1C1,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥BC,∵A1O⊥面ABC,A1D∥AO,∴A1O⊥AO,A1O⊥BC∵BC∩AO=O,A1O⊥A1D,A1D⊥BC∴A1D⊥平面A1BC解:(II)建立坐标系如图∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4∴O(0,0,0),B(0,
,0),B1(﹣
,
,
),A1(0,0
)即
=(0,
,
),
=(0,
,0),
=(
,0,
),设平面BB1C1C的法向量为
=(x,y,z),
即得出
得出
=(
,0,1),|
|=4,|
|=
∵
=
,∴cos<
,
>=
=
,可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为
点评:本题考查了空间几何体的性质,直线平面的垂直问题,空间向量的运用,空间想象能力,计算能力,属于中档题.
19.(15分)(2015•浙江)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
(Ⅰ)求点A,B的坐标;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x﹣t)(k≠0),与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0,利用△=0,解得k=t,可得A坐标.圆C2的圆心D(0,1),设B(x0,y0),由题意可知:点B与O关于直线PD得出,可得,解得B坐标.(II)由(I)可得:(t2﹣1)x﹣2ty+2t=0,可得点P到直线AB的距离d,又|AB|=
.即可得出S△PAB=
.
解答:解:(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x﹣t)(k≠0),联立,化为x2﹣4kx+4kt=0,∵△=16k2﹣16kt=0,解得k=t,∴x=2t,∴A(2t,t2).圆C2的圆心D(0,1),设B(x0,y0),由题意可知:点B与O关于直线PD得出,∴
,解得
.∴B
.(II)由(I)可得:kAB=
=
,直线AB的方程为:y﹣t2=
,化为(t2﹣1)x﹣2ty+2t=0,∴点P到直线AB的距离d=
=
=t,又|AB|=
=t2.∴S△PAB=
=
.
点评:本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.
20.(15分)(2015•浙江)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)当b=+1时,求函数f(x)在[﹣1,1]上的最小值g(a)的表达式.
(Ⅱ)已知函数f(x)在[﹣1,1]上存在零点,0≤b﹣2a≤1,求b的取值范围.
考点:二次函数的性质;函数零点的判定定理.菁优网版权所有
专题:分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析:(Ⅰ)求出二次函数的对称轴方程,讨论对称轴和区间[﹣1,1]的关系,运用函数的单调性即可得到最小值;(Ⅱ)设s,t是方程f(x)=0的解,且﹣1≤t≤1,运用韦达定理和已知条件,得到s的不等式,讨论t的范围,得到st的范围,由分式函数的值域,即可得到所求b的范围.
解答:解:(Ⅰ)当b=+1时,f(x)=(x+
)2+1,对称轴为x=﹣
,当a≤﹣2时,函数f(x)在[﹣1,1]上递减,则g(a)=f(1)=
+a+2;当﹣2<a≤2时,即有﹣1≤﹣
<1,则g(a)=f(﹣
)=1;当a>2时,函数f(x)在[﹣1,1]上递增,则g(a)=f(﹣1)=
﹣a+2.综上可得,g(a)=
;(Ⅱ)设s,t是方程f(x)=0的解,且﹣1≤t≤1,则
,由于0≤b﹣2a≤1,由此
≤s≤
(﹣1≤t≤1),当0≤t≤1时,
≤st≤
,由﹣
≤
≤0,得﹣
≤
≤9﹣4
,所以﹣
≤b≤9﹣4
;当﹣1≤t<0时,
≤st≤
,由于﹣2≤
<0和﹣3≤
<0,所以﹣3≤b<0,故b的取值范围是[﹣3,9﹣4
].
点评:本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法,同时考查二次方程和函数的零点的关系,以及韦达定理的运用,考查不等式的性质和分式函数的最值的求法,属于中档题.