且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，

∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0） 时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，

∴函数φ（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，

由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，

∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，

∴F（x）＞恒成立．

即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．

21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．

（i）求证：点M在定直线上；

（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

【考点】椭圆的简单性质

【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；

（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0，可得y=﹣．进而得到定直线；

（ii）由直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0），S2=|PM|•|x0﹣|，化简整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．

【解答】解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），

即有b=，a2﹣c2=，

解得a=1，c=，

可得椭圆的方程为x2+4y2=1；

（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，

由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，

则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），

可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，

可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），

直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．

即有点M在定直线y=﹣上；

（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），

则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；

S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，

则=，

令1+2x02=t（t≥1），则==

==2+﹣=﹣（﹣）2+，

则当t=2，即x0=时，取得最大值，

此时点P的坐标为（，）．