（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理

【专题】计算题；证明题；综合法；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；

（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：

；

∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC（1）；

根据正弦定理，；

∴，带入（1）得：；

∴a+b=2c；

（Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；

∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；

又a，b＞0；

∴；

∴由余弦定理，=；

∴cosC的最小值为．

【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．

17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定

【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．

【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．

（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，

∵G、H为EC、FB的中点，

∴GQ，QH∥，

又∵EFBO，∴GQBO，

∴平面GQH∥平面ABC，

∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．

解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，

又∵OO′⊥面ABC，

∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），