【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；

（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．

【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，

故概率P=++=++=，

（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，

则P（X=0）==，

P（X=1）=2×[+]=，

P（X=2）=+++=，

P（X=3）=2×=，

P（X=4）=2×[+]=

P（X=6）==

故X的分布列如下图所示：

X 012 3 4 6

P

∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．

20．（13分）（2016•山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性

【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．

【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；

（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，

得f′（x）=a（1﹣）+

==（x＞0）．

若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；

若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

（Ⅱ）解：∵a=1，

令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．

令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．

则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），

由，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；

又，设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，