20．（16分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST=++…+．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；

（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．

【分析】（1）根据题意，由ST的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；

（2）根据题意，由ST的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；

（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到SA≥2SB，即可得证明．

【解答】解：（1）当T={2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，

因此a2=3，从而a1==1，

故an=3n﹣1，

（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=ak+1，

（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，

分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，

因此原命题的等价于证明SC≥2SB，

由条件SC≥SD，可得SA≥SB，

①、若B=∅，则SB=0，故SA≥2SB，

②、若B≠∅，由SA≥SB可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，

若m≥l+1，则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，

因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，

SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即SA≥2SB，

综上所述，SA≥2SB，

故SC+SC∩D≥2SD．

【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．

附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】

21．（10分）（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．

【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．

【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，

因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，

则：∠EDC=∠C，

由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，

由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，

因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，

所以，∠EDC=∠ABD．

【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．

B.【选修4—2：矩阵与变换】

22．（10分）（2016•江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．

【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．

【解答】解：∵B﹣1=，

∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，