联立①②解得：，

此时|PF1|+|PF2|=．

∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．

故答案为：（）．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．

14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．

【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=．CO=，CE==，EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=．EF=BO=．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出．

【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，

在Rt△ACD′中，=．

作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．

CO=，CE===，

∴EO=CO﹣CE=．

过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．

则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．

EF=BO==．

则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．

则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．

∴D′B的最小值==2．

∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．

故答案为：．

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．

15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．

【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．

【解答】解：||+||=，

其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，

当与共线时，取得最大值．

∴=．

故答案为：．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．

三、解答题

16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

（1）证明：A=2B；

（2）若cosB=，求cosC的值．

【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．

（II）cosB=，可得sinB=．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA=．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．

【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，

∴sinB+sinC=2sinAcosB，