【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，

又△OAB的面积为1，可得ab=1，

且a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=1，c=，

可得椭圆C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），

可得x02+4y02=4，

直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，

则|BM|=|1+|；

直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，

则|AN|=|2+|．

可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|

=||=||

=||=4，

即有|AN|•|BM|为定值4．

证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），

直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，

则|BM|=||；

直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，

则|AN|=||．

即有|AN|•|BM|=||•||

=2||

=2||=4．

则|AN|•|BM|为定值4．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．

20．（13分）（2016•北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．

（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；

（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；

（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．

【考点】数列与函数的综合；数学归纳法．菁优网版权所有

【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法．

【分析】（Ⅰ）结合“G时刻”的定义进行分析；

（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；

（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．

【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a1=﹣2，a2=2，a3=﹣1，a4=1，a5=3，a1＜a2满足条件，2满足条件，a2＞a3不满足条件，3不满足条件，

a2＞a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）={2，5}．

（Ⅱ）因为存在an＞a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak＞a1≥ai，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；

（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i1＜i2＜L＜ik，

对于第一个“G时刻”i1，有＞a1≥ai（i=2，3，L，i1﹣1），则

﹣ai≤﹣≤1．