解答:解:化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1=(1﹣cos2x)+
sin2x+1=
sin(2x﹣
)+
,∴原函数的最小正周期为T=
=π,由2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
可得kπ+
≤x≤kπ+
,∴函数的单调递减区间为[kπ+
,kπ+
](k∈Z)故答案为:π;[kπ+
,kπ+
](k∈Z)
点评:本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.
12.(4分)
考点:对数的运算性质
专题:函数的性质及应用.
分析:直接把a代入2a+2﹣a,然后利用对数的运算性质得答案.
解答:解:∵a=log43,可知4a=3,即2a=,所以2a+2﹣a=
+
=
.故答案为:
.
点评:本题考查对数的运算性质,是基础的计算题.
13.(4分)
考点:异面直线及其所成的角
专题:空间角.
分析:连结ND,取ND 的中点为:E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC通过解三角形,求解即可.
解答:解:连结ND,取ND 的中点为:E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC,∵AN=2,∴ME=
=EN,MC=2
,又∵EN⊥NC,∴EC=
=
,∴cos∠EMC=
=
=
.故答案为:
.
点评:本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
14.(4分)
考点:函数的最值及其几何意义
专题:不等式的解法及应用;直线与圆.
分析:根据所给x,y的范围,可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值.
解答:解:由x2+y2≤1,可得6﹣x﹣3y>0,即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分,在直线的上方(含直线),即有2x+y﹣2≥0,即|2+y﹣2|=2x+y﹣2,此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=x﹣2y+4,利用线性规划可得在A(,
)处取得最小值3;在直线的下方(含直线),即有2x+y﹣2≤0,即|2+y﹣2|=﹣(2x+y﹣2),此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=8﹣3x﹣4y,利用线性规划可得在A(
,
)处取得最小值3.综上可得,当x=
,y=
时,|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3.故答案为:3.
点评:本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题.
15.(6分)
考点:空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算
专题:创新题型;空间向量及应用.
分析:由题意和数量积的运算可得<•
>=
,不妨设
=(
,
,0),
=(1,0,0),由已知可解
=(
,
,t),可得|
﹣(
|2=(x+
)2+
(y﹣2)2+t2,由题意可得当x=x0=1,y=y0=2时,(x+
)2+
(y﹣2)2+t2取最小值1,由模长公式可得
|.
解答:解:∵•
=|
||
|cos<
•
>=cos<
•
>=
,∴<
•
>=
,不妨设
=(
,
,0),
=(1,0,0),
=(m,n,t),则由题意可知
=
m+
n=2,
=m=
,解得m=
,n=
,∴
=(
,
,t),∵
﹣(
)=(
﹣
x﹣y,
,t),∴|
﹣(
|2=(
﹣
x﹣y)2+(
)2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=(x+
)2+
(y﹣2)2+t2,由题意当x=x0=1,y=y0=2时,(x+
)2+
(y﹣2)2+t2取最小值1,此时t2=1,故
|=
=2
故答案为:1;2;2
点评:本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(14分)
考点:余弦定理
专题:解三角形.
分析:(1)由余弦定理可得:,已知b2﹣a2=
c2.可得
,a=
.利用余弦定理可得cosC.可得sinC=
,即可得出tanC=
.(2)由
=
×
=3,可得c,即可得出b.
解答:解:(1)∵A=,∴由余弦定理可得:
,∴b2﹣a2=
bc﹣c2,又b2﹣a2=
c2.∴
bc﹣c2=
c2.∴
b=
c.可得
,∴a2=b2﹣
=
,即a=
.∴cosC=
=
=
.∵C∈(0,π),∴sinC=
=
.∴tanC=
=2.(2)∵
=
×
=3,解得c=2
.∴
=3.
点评:本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
17.(15分)
考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定
专题:空间位置关系与距离;空间角.
分析:(1)以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过•
=
•
=0及线面垂直的判定定理即得结论;(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可.
解答:(1)证明:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系.则BC=AC=2
,A1O=
=
,易知A1(0,0,
),B(
,0,0),C(﹣
,0,0),A(0,
,0),D(0,﹣
,
),B1(
,﹣
,
),
=(0,﹣
,0),
=(﹣
,﹣
,
),
=(﹣
,0,0),
=(﹣2
,0,0),
=(0,0,
),∵
•
=0,∴A1D⊥OA1,又∵
•
=0,∴A1D⊥BC,又∵OA1∩BC=O,∴A1D⊥平面A1BC;(2)解:设平面A1BD的法向量为
=(x,y,z),由
,得
,取z=1,得
=(
,0,1),设平面B1BD的法向量为
=(x,y,z),由
,得
,取z=1,得
=(0,
,1),∴cos<
,
>=
=
=
,又∵该二面角为钝角,∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣
.
点评:本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题.
18.(15分)