考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．

解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．

点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．

19．（15分）

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．

解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．

点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．（15分）

考点：数列的求和；数列与不等式的综合

专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．

分析：（1）通过题意易得0＜an≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an﹣an+1累加得Sn=﹣an+1，利用数学归纳法可证明≥an≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．

解答：证明：（1）由题意可知：0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an﹣an+1=，∴an＞an+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn=++…+=a1﹣an+1=﹣an+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥an≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则ak+1=﹣+，由二次函数单调性知：an+1≥﹣+=≥，an+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥an≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．

点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．