整理得：，即8k2≥3．

∴或．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．

20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；

（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．

【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；

（2）f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，分别计算f（x0），f（3﹣2x0），化简整理即可得证；

（3）要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，即证在[0，2]上存在x1，x2，使得g（x1）﹣g（x2）≥．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．

【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为

f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，

当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；

当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，

当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，

可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；

（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，

由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，

f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b

=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，

即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），

即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；

（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，

即证在[0，2]上存在x1，x2，使得g（x1）﹣g（x2）≥．

当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，

f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；

当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b

=﹣a﹣b，

f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b

=﹣﹣a﹣b，

f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，

f（2）﹣f（0）=2﹣2a，

若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；

若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．

综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．