考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。

专题：综合题。

分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a＞0令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞a；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜a故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a，）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜∴a的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣∴g（t）=M（t）﹣m（t）=综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．