【分析】（Ⅰ）由题设条件得，由此可知．

（Ⅱ）由题设条件知，，再由错位相减得，由此可知．

（Ⅲ）由得．由此可知Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=．

【解答】解：（Ⅰ）由条件得，又n=1时，，

故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．

（Ⅱ）由得，，

两式相减得：，所以．

（Ⅲ）由得．

所以Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=．

【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．

21．（12分）（2008•四川）已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列．

（Ⅰ）当C2的准线与C1右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；

（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点．当|MN|=8时，求|PQ|的值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；等比数列的性质；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（Ⅰ）设C1：（a＞b＞0），由题意知C2：y2=4cx．由条件知a=2c．C1的右准线方程为x=4c．C2的准线方程为x=﹣c．

由条件知c=3，a=6，．由此可知C1：，C2：y2=12x．

（Ⅱ）由题设知l：y=x﹣c，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．由，得x2﹣6cx+c2=0，所以x1+x2=6c．而|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．由此可知．

【解答】解：（Ⅰ）设C1：（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C2：y2=4cx．

由条件知，得a=2c．C1的右准线方程为，即x=4c．C2的准线方程为x=﹣c．

由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，．

从而C1：，C2：y2=12x．

（Ⅱ）由题设知l：y=x﹣c，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．

由，得x2﹣6cx+c2=0，所以x1+x2=6c．

而|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．

由（Ⅰ）得a=2，．从而，C1：，即3x2+4y2=12．

由，得7x2﹣8x﹣8=0．所以，．

故．

【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

22．（14分）（2008•四川）设函数f（x）=x3﹣x2﹣x+2．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若当x∈[﹣1，2]时，﹣3≤af（x）+b≤3，求a﹣b的最大值．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；简单线性规划的应用

【专题】压轴题．

【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，令f'（x）＞0解出x的范围得到其增区间，同理令f'（x）＜0解出x的范围得到减区间；令f'（x）=0解出x的值得到极值点．

（2）先求出函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大与最小值，由可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）．

于是，当时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0．

故f（x）在单调减少，在，（1，+∞）单调增加．

当时，f（x）取得极大值；