联立①②解得:,
此时|PF1|+|PF2|=.
∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().
故答案为:().
【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.
14.(4分)(2016•浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.
【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥BO,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.
【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,
在Rt△ACD′中,=.
作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.
CO=,CE===,
∴EO=CO﹣CE=.
过点B作BF∥BO,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.
则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.
EF=BO==.
则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.
则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.
∴D′B的最小值==2.
∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.
故答案为:.
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.
15.(4分)(2016•浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.
【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.
【解答】解:||+||=,
其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,
当与共线时,取得最大值.
∴=.
故答案为:.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.
三、解答题
16.(14分)(2016•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)证明:A=2B;
(2)若cosB=,求cosC的值.
【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B<π,即可证明.
(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.
【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,
∴sinB+sinC=2sinAcosB,