∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），

∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．

∴A=2B．

（II）解：cosB=，∴sinB==．

cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．

【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．（15分）（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

（Ⅰ）求通项公式an；

（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．

【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{an}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式an；

（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．

【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．

∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，

解得a1=1，a2=3，

当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，

两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，

即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，

满足an+1=3an，

∴=3，则数列{an}是公比q=3的等比数列，

则通项公式an=3n﹣1．

（Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，

设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，

则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，

当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，

则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，

此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=，

则Tn==．

【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．

18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF=，DF=，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：

∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；

∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；

∴BF⊥AC；