15．（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=﹣16．

考点：平面向量数量积的运算。

专题：计算题。

分析：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由 =（ ﹣）•（ ﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．

解答：解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，∴=（ ﹣）•（ ﹣）=•﹣•﹣•+，=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，故答案为﹣16．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．

16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=．

考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值。

专题：计算题。

分析：利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可．

解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=f（+2）=f（），又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（）=f（），又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，∴有：f（）=+1=，则=．故答案为．

点评：本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握．

17．（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式。

专题：计算题。

分析：先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．

解答：解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为圆心到直线y=x的距离为=2∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a）切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为即解得a=或﹣当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去故答案为：

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．

考点：解三角形。

专题：计算题。

分析：（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的方程，记作①，再由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a与c的值．

解答：解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理=，得：sinBsinA=sinAcosB，∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，∴sinB=cosB，即tanB=，又B为三角形的内角，∴B=；（2）由sinC=2sinA及正弦定理=，得：c=2a①，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：9=a2+c2﹣ac②，联立①②解得：a=，c=2．

点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．

19．（2012•浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．

（1）求an，bn；

（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．

考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定。

专题：计算题。

分析：（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn（II）由（I）知，，利用错位相减可求数列的和

解答：解（I）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故an=4n﹣1，又∵足an=4log2bn+3=4n﹣1∴（II）由（I）知，2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5

点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．

20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

（1）证明：

（i）EF∥A1D1；

（ii）BA1⊥平面B1C1EF；

（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．