考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定。

专题：综合题。

分析：（1）（i）先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF，证出EF∥A1D1．（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1，再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可．

解答：（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面平面ADD1A1=EF，∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥BA1，在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）解：设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．

点评：本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力．

21．（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x3﹣2ax+a．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。

专题：综合题。

分析：（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+），由此可确定f（x）的单调递增区间；单调递增区间；（2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2；当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2，构造函数g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，确定g（x）min=g（）=1﹣＞0，即可证得结论．

解答：（1）解：求导函数可得f′（x）=12x2﹣2aa≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+）∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调递增区间为（﹣，）；（2）证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2设g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣）（x+）∴g（x）min=g（）=1﹣＞0∴当0≤x≤1时，2x3﹣2x+1＞0∴当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．

22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．

（1）求p，t的值．

（2）求△ABP面积的最大值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质。

专题：计算题；综合题；转化思想。

分析：（1）通过点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．列出方程，求出p，t的值即可．（2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k≠0），利用推出AB的方程y﹣m=．利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S==|1﹣2（m﹣m2）|．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值．

解答：解：（1）由题意可知得，．（2）设A（x1，y1）（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），由得，（y1﹣y2）（y1+y2）=x1﹣x2，故k•2m=1，所以直线AB方程为y﹣m=．即△=4m﹣4m2＞0，y1+y2=2m，y1y2=2m2﹣m．从而|AB|==，设点P到直线AB的距离为d，则d=，设△ABP的面积为S，则S==|1﹣2（m﹣m2）|．由△=＞0，得0＜m＜1，令u=，，则S=u（1﹣2u2），，则S′（u）=1﹣6u2，S′（u）=0，得u=，所以S最大值=S（）=．故△ABP面积的最大值为．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，考查分析问题解决问题的能力．