20．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣）．令f′（x）＝6x（x﹣）＝0，解得x＝0，或．对a分类讨论，即可得出单调性．

（2）对a分类讨论，利用（1）的结论即可得出．

【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣）．

令f′（x）＝6x（x﹣）＝0，解得x＝0，或．

①a＝0时，f′（x）＝6x2≥0，函数f（x）在R上单调递增．

②a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减．

③a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减．

（2）由（1）可得：

①a≤0时，函数f（x）在[0，1]上单调递增．则f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝2﹣a+b＝1，解得b＝﹣1，a＝0，满足条件．

②a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减．

≥1，即a≥3时，函数f（x）在[0，1]上单调递减．则f（0）＝b＝1，f（1）＝2﹣a+b＝﹣1，解得b＝1，a＝4，满足条件．

③0＜＜1，即0＜a＜3时，函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，1]上单调递增．则最小值f（）＝﹣a×+b＝﹣1，

化为：﹣+b＝﹣1．而f（0）＝b，f（1）＝2﹣a+b，∴最大值为b或2﹣a+b．

若：﹣+b＝﹣1，b＝1，解得a＝3＞3，矛盾，舍去．

若：﹣+b＝﹣1，2﹣a+b＝1，解得a＝±3，或0，矛盾，舍去．

综上可得：存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1．

a，b的所有值为：，或．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．

（1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．

【分析】（1）求得y＝的导数，可得切线的斜率，可得切线DA，DB的方程，求得交点D的坐标，可得AB的方程，化简可得AB恒过定点；

（2）设直线AB的方程为y＝kx+，由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，求得AB中点H（k，k2+），由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|，求得k，再由四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD，运用点到直线的距离公式和弦长公式，计算可得所求值．

【解答】解：（1）证明：y＝的导数为y′＝x，

设切点A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1＝，y2＝，

切线DA的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x﹣，

切线DB的方程为y＝x2x﹣，

联立两切线方程可得x＝（x1+x2），

可得y＝x1x2＝﹣，即x1x2＝﹣1，

直线AB的方程为y﹣＝（x﹣x1），

即为y﹣＝（x1+x2）（x﹣x1），

可化为y＝（x1+x2）x+，

可得AB恒过定点（0，）；

（2）法一：设直线AB的方程为y＝kx+，

由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，

AB中点H（k，k2+），

由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|，