即：y＝x﹣1+lnx0

即：y＝x+

而曲线y＝ex的切线在点（ln，）处的切线方程为：y﹣＝（x﹣ln），

即：y＝x+，故曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的切线．

故得证．

【点评】本题考查f（x）的单调性，函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明．

21．（12分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣．记M的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．

（i）证明：△PQG是直角三角形；

（ii）求△PQG面积的最大值．

【分析】（1）利用直接法不难得到方程；

（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，PG斜率之积为﹣1；

（ii）利用S＝，代入已得数据，并对换元，利用“对号”函数可得最值．

【解答】解：（1）由题意得，

整理得曲线C的方程：，

∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；

（2）

（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），

E（x0，0），G（xG，yG），

∴直线QE的方程为：，

与联立消去y，

得，

∴，

∴，

∴＝，

∴

＝

＝

＝，

把代入上式，

得kPG＝

＝

＝﹣，

∴kPQ×kPG＝＝﹣1，

∴PQ⊥PG，

故△PQG为直角三角形；

（ii）S△PQG＝

＝

＝