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高考全国卷理科数学试卷及答案
大小:0B 11页 发布时间: 2024-01-29 11:06:10 14.03k 13.19k

【解答】(1)解:X的所有可能取值为﹣1,0,1.

P(X=﹣1)=(1﹣α)β,P(X=0)=αβ+(1﹣α)(1﹣β),P(X=1)=α(1﹣β),

∴X的分布列为:

X﹣1 0 1

P (1﹣α)βαβ+(1﹣α)(1﹣β)α(1﹣β)

(2)(i)证明:∵α=0.5,β=0.8,

∴由(1)得,a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,…,7),

故0.1(pi+1﹣pi)=0.4(pi﹣pi﹣1),即(pi+1﹣pi)=4(pi﹣pi﹣1),

又∵p1﹣p0=p1≠0,∴{pi+1﹣pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列;

(ii)解:由(i)可得,

p8=(p8﹣p7)+(p7﹣p6)+…+(p1﹣p0)+p0=

∵p8=1,∴p1=

∴P4=(p4﹣p3)+(p3﹣p2)+(p2﹣p1)+(p1﹣p0)+p0=p1=

P4表示最终认为甲药更有效的概率.

由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.

【点评】本题是函数与数列的综合题,主要考查数列和函数的应用,考查离散型随机变量的分布列,根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11=0.

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)求C上的点到l距离的最小值.

【分析】(1)把曲线C的参数方程变形,平方相加可得普通方程,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入2ρcosθ+ρsinθ+11=0,可得直线l的直角坐标方程;

(2)法一、设出椭圆上动点的坐标(参数形式),再由点到直线的距离公式写出距离,利用三角函数求最值;

法二、写出与直线l平行的直线方程为,与曲线C联立,化为关于x的一元二次方程,利用判别式大于0求得m,转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值.

【解答】解:(1)由(t为参数),得

两式平方相加,得(x≠﹣1),

∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1),

由2ρcosθ+ρsinθ+11=0,得

即直线l的直角坐标方程为得

(2)法一、设C上的点P(cosθ,2sinθ)(θ≠π),

则P到直线得的距离为:

d=

∴当sin(θ+φ)=﹣1时,d有最小值为

法二、设与直线平行的直线方程为

联立,得16x2+4mx+m2﹣12=0.

由△=16m2﹣64(m2﹣12)=0,得m=±4.

∴当m=4时,直线与曲线C的切点到直线的距离最小,为

【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了两平行线间的距离公式的应用,是中档题.

[选修4-5:不等式选讲](10分)

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