【解答】（1）解：X的所有可能取值为﹣1，0，1．

P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β），

∴X的分布列为：

X﹣1 0 1

P （1﹣α）βαβ+（1﹣α）（1﹣β）α（1﹣β）

（2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，

∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．

因此pi＝0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1（i＝1，2，…，7），

故0.1（pi+1﹣pi）＝0.4（pi﹣pi﹣1），即（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），

又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；

（ii）解：由（i）可得，

p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0＝，

∵p8＝1，∴p1＝，

∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0＝p1＝．

P4表示最终认为甲药更有效的概率．

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

【点评】本题是函数与数列的综合题，主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【分析】（1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入2ρcosθ+ρsinθ+11＝0，可得直线l的直角坐标方程；

（2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值；

法二、写出与直线l平行的直线方程为，与曲线C联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式大于0求得m，转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值．

【解答】解：（1）由（t为参数），得，

两式平方相加，得（x≠﹣1），

∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），

由2ρcosθ+ρsinθ+11＝0，得．

即直线l的直角坐标方程为得；

（2）法一、设C上的点P（cosθ，2sinθ）（θ≠π），

则P到直线得的距离为：

d＝＝．

∴当sin（θ+φ）＝﹣1时，d有最小值为．

法二、设与直线平行的直线方程为，

联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．

由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．

∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．

【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）