【解答】(1)解:X的所有可能取值为﹣1,0,1.
P(X=﹣1)=(1﹣α)β,P(X=0)=αβ+(1﹣α)(1﹣β),P(X=1)=α(1﹣β),
∴X的分布列为:
X﹣1 0 1
P (1﹣α)βαβ+(1﹣α)(1﹣β)α(1﹣β)
(2)(i)证明:∵α=0.5,β=0.8,
∴由(1)得,a=0.4,b=0.5,c=0.1.
因此pi=0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,…,7),
故0.1(pi+1﹣pi)=0.4(pi﹣pi﹣1),即(pi+1﹣pi)=4(pi﹣pi﹣1),
又∵p1﹣p0=p1≠0,∴{pi+1﹣pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列;
(ii)解:由(i)可得,
p8=(p8﹣p7)+(p7﹣p6)+…+(p1﹣p0)+p0=,
∵p8=1,∴p1=,
∴P4=(p4﹣p3)+(p3﹣p2)+(p2﹣p1)+(p1﹣p0)+p0=p1=.
P4表示最终认为甲药更有效的概率.
由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
【点评】本题是函数与数列的综合题,主要考查数列和函数的应用,考查离散型随机变量的分布列,根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11=0.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
【分析】(1)把曲线C的参数方程变形,平方相加可得普通方程,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入2ρcosθ+ρsinθ+11=0,可得直线l的直角坐标方程;
(2)法一、设出椭圆上动点的坐标(参数形式),再由点到直线的距离公式写出距离,利用三角函数求最值;
法二、写出与直线l平行的直线方程为,与曲线C联立,化为关于x的一元二次方程,利用判别式大于0求得m,转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值.
【解答】解:(1)由(t为参数),得,
两式平方相加,得(x≠﹣1),
∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1),
由2ρcosθ+ρsinθ+11=0,得.
即直线l的直角坐标方程为得;
(2)法一、设C上的点P(cosθ,2sinθ)(θ≠π),
则P到直线得的距离为:
d==.
∴当sin(θ+φ)=﹣1时,d有最小值为.
法二、设与直线平行的直线方程为,
联立,得16x2+4mx+m2﹣12=0.
由△=16m2﹣64(m2﹣12)=0,得m=±4.
∴当m=4时,直线与曲线C的切点到直线的距离最小,为.
【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了两平行线间的距离公式的应用,是中档题.
[选修4-5:不等式选讲](10分)