∴|AB|＝＝．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．

20．（12分）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：

（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；

（2）f（x）有且仅有2个零点．

【分析】（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求出原函数的导函数，进一步求导，得到f″（x）在（﹣1，）上为减函数，结合f″（0）＝1，f″（）＝﹣1+＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，函数f″（x）在（﹣1，）上存在唯一得零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；

（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；由于f′（x）在（x0，）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（）＜0，可得函数f′（x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈（x0，x1）时，f（x）单调递增；当x∈（）时，f（x）单调递减．当x∈（，π）时，f（x）单调递减，再由f（）＞0，f（π）＜0．然后列x，f′（x）与f（x）的变化情况表得答案．

【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

f′（x）＝cosx，f″（x）＝﹣sinx+，

令g（x）＝﹣sinx+，则g′（x）＝﹣cosx＜0在（﹣1，）恒成立，

∴f″（x）在（﹣1，）上为减函数，

又∵f″（0）＝1，f″（）＝﹣1+＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，

函数f″（x）在（﹣1，）上存在唯一的零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，

在（x0，）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；

（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f（x）单调递减；

当x∈（0，x0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增；

由于f′（x）在（x0，）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（）＝＜0，

由零点存在定理可知，函数f′（x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，

当x∈（x0，x1）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增；

当x∈（）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减．

当x∈（，π）时，cosx＜0，﹣＜0，于是f′（x）＝cosx﹣＜0，f（x）单调递减，

其中f（）＝1﹣ln（1+）＞1﹣ln（1+）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，

f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0．

于是可得下表：

x （﹣1，0）0 （0，x1）x1（） （）π

f´（x）﹣ 0+0﹣﹣﹣﹣

f（x）单调递减 0单调递增 大于0单调递减 大于0单调递减 小于0

结合单调性可知，函数f（x）在（﹣1，]上有且只有一个零点0，

由函数零点存在性定理可知，f（x）在（，π）上有且只有一个零点x2，

当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数f（x）在[π，+∞）上无零点．

综上，f（x）有且仅有2个零点．

【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．

21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．

（i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；

（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

【分析】（1）由题意可得X的所有可能取值为﹣1，0，1，再由相互独立试验的概率求P（X＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1）的值，则X的分布列可求；

（2）（i）由α＝0.5，β＝0.8结合（1）求得a，b，c的值，代入pi＝api﹣1+bpi+cpi+1，得到（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），由p1﹣p0＝p1≠0，可得{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；

（ii）由（i）可得，p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0，利用等比数列的前n项和与p8＝1，得p1＝，进一步求得p4＝．P4表示最终认为甲药更有效的概率，结合α＝0.5，β＝0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．