[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：

（1）++≤a2+b2+c2；

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．

【分析】（1）利用基本不等式和1的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证．

【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．

要证（1）++≤a2+b2+c2；因为abc＝1．

就要证：++≤a2+b2+c2；

即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；

即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；

2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0

（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；

∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．

∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．

即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．

故++≤a2+b2+c2得证．

（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；

即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．

（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；

（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；

当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；

∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．

（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；

当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；

∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••＝24abc＝24；

当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；

故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．

故得证．

【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．