（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

【分析】（1）令g（x）＝f′（x），对g（x）再求导，研究其在（0，π）上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；

（2）利用（1）的结论，可设f′（x）的零点为x0，并结合f′（x）的正负分析得到f（x）的情况，作出图示，得出结论．

【解答】解：

（1）

证明：∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，

∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1

＝cosx+xsinx﹣1，

令g（x）＝cosx+xsinx﹣1，

则g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx

＝xcosx，

当x∈（0，）时，xcosx＞0，

当x时，xcosx＜0，

∴当x＝时，极大值为g（）＝＞0，

又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，

∴g（x）在（0，π）上有唯一零点，

即f′（x）在（0，π）上有唯一零点；

（2）

由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0，

使得f′（x0）＝0，

且f′（x）在（0，x0）为正，

在（x0，π）为负，

∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减，

结合f（0）＝0，f（π）＝0，

可知f（x）在[0，π]上非负，

令h（x）＝ax，

作出图示，

∵f（x）≥h（x），

∴a≤0，

∴a的取值范围是（﹣∞，0]．

【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难度较大．

21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．

（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．

【分析】（1）由条件知点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设圆的方程为⊙M的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），然后根据圆与直线x+2＝0相切和圆心到直线x+y＝0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；

（2）设M的坐标为（x，y），然后根据条件的到圆心M的轨迹方程为y2＝4x，然后根据抛物线的定义即可得到定点．

【解答】解：∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，

∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，

设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则