【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝．

若a＞0，则当x∈（﹣∞，0）∪（）时，f′（x）＞0；当x∈（0，）时，f′（x）＜0．

故f（x）在（﹣∞，0），（）上单调递增，在（0，）上单调递减；

若a＝0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

若a＜0，则当x∈（﹣∞，）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（，0）时，f′（x）＜0．

故f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减；

（2）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，

∴f（x）在区间[0，1]的最小值为，最大值为f（0）＝2或f（1）＝4﹣a．

于是，m＝，M＝．

∴M﹣m＝．

当0＜a＜2时，可知2﹣a+单调递减，∴M﹣m的取值范围是（）；

当2≤a＜3时，单调递增，∴M﹣m的取值范围是[，1）．

综上，M﹣m的取值范围[，2）．

【点评】本题主要考查导数的运算，运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．

21．（12分）已知曲线C：y＝，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．

（1）证明：直线AB过定点．

（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．

【分析】（1）设D（t，﹣），A（x1，y1），则，利用导数求斜率及两点求斜率可得2tx1﹣2y1+1＝0，设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0，得到直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0，再由直线系方程求直线AB过的定点；

（2）由（1）得直线AB的方程y＝tx+，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB的中点M（t，），再由，可得关于t的方程，求得t＝0或t＝±1．然后分类求得||＝2及所求圆的方程．

【解答】（1）证明：设D（t，﹣），A（x1，y1），则，

由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故，

整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．

设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．

故直线AB的方程为2tx﹣2y+1＝0．

∴直线AB过定点（0，）；

（2）解：由（1）得直线AB的方程y＝tx+．

由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．

于是．

设M为线段AB的中点，则M（t，），

由于，而，与向量（1，t）平行，

∴t+（t2﹣2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．

当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为；

当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；