【解答】解:(1)f′(x)=6x2﹣2ax=2x(3x﹣a),
令f′(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,则当x∈(﹣∞,0)∪()时,f′(x)>0;当x∈(0,
)时,f′(x)<0.
故f(x)在(﹣∞,0),()上单调递增,在(0,
)上单调递减;
若a=0,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
若a<0,则当x∈(﹣∞,)∪(0,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(
,0)时,f′(x)<0.
故f(x)在(﹣∞,),(0,+∞)上单调递增,在(
,0)上单调递减;
(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在(0,)上单调递减,在(
,1)上单调递增,
∴f(x)在区间[0,1]的最小值为,最大值为f(0)=2或f(1)=4﹣a.
于是,m=,M=
.
∴M﹣m=.
当0<a<2时,可知2﹣a+单调递减,∴M﹣m的取值范围是(
);
当2≤a<3时,单调递增,∴M﹣m的取值范围是[
,1).
综上,M﹣m的取值范围[,2).
【点评】本题主要考查导数的运算,运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想和化归与转化思想,考查分类讨论的数学思想方法,属难题.
21.(12分)已知曲线C:y=,D为直线y=﹣
上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点.
(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.
【分析】(1)设D(t,﹣),A(x1,y1),则
,利用导数求斜率及两点求斜率可得2tx1﹣2y1+1=0,设B(x2,y2),同理可得2tx2﹣2y2+1=0,得到直线AB的方程为2tx﹣2y+1=0,再由直线系方程求直线AB过的定点;
(2)由(1)得直线AB的方程y=tx+,与抛物线方程联立,利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB的中点M(t,
),再由
,可得关于t的方程,求得t=0或t=±1.然后分类求得|
|=2及所求圆的方程.
【解答】(1)证明:设D(t,﹣),A(x1,y1),则
,
由于y′=x,∴切线DA的斜率为x1,故,
整理得:2tx1﹣2y1+1=0.
设B(x2,y2),同理可得2tx2﹣2y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx﹣2y+1=0.
∴直线AB过定点(0,);
(2)解:由(1)得直线AB的方程y=tx+.
由,可得x2﹣2tx﹣1=0.
于是.
设M为线段AB的中点,则M(t,),
由于,而
,
与向量(1,t)平行,
∴t+(t2﹣2)t=0,解得t=0或t=±1.
当t=0时,||=2,所求圆的方程为
;
当t=±1时,||=
,所求圆的方程为
.
【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查计算能力,是中档题.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(,
),C(
,
),D(2,π),弧
,
,
所在圆的圆心分别是(1,0),(1,
),(1,π),曲线M1是弧
,曲线M2是弧
,曲线M3是弧
.
(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;