【点评】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

20．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．

【分析】（1）推导出B1N＝BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，从而BB1∥MN，由此能证明AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F．

（2）推导出EF∥B1C1∥BC，从而AO∥PN，四边形APNO为平行四边形，A1N＝3ON，AM＝3AP，PN＝BC＝B1C1＝3EF，直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，从而直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角，由此能求出直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，

∴B1N＝BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，

∴BB1∥MN，∵AA1∥BB1，∴AA1∥MN，

∵MN⊥B1C1，A1N⊥B1C1，MN∩A1N＝N，

∴B1C1⊥平面A1AMN，

∵B1C1⊂平面EB1C1F，

∴平面A1AMN⊥平面EB1C1F，

综上，AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F．

（2）解：∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，EF，

∴EF∥B1C1∥BC，

∵AO∥面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F＝PN，

∴AO∥PN，四边形APNO为平行四边形，

∵O是正三角形的中心，AO＝AB，

∴A1N＝3ON，AM＝3AP，PN＝BC＝B1C1＝3AP＝3EF，

由（1）知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，

直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角，

在等腰梯形EFC1B1中，令EF＝1，过E作EH⊥B1C1于H，

则PN＝B1C1＝EH＝3，B1H＝1，，

sin∠B1EH＝＝，

∴直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为．

【点评】本题考查线线平行、面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．（12分）已知函数f（x）＝sin2xsin2x．

（1）讨论f（x）在区间（0，π）的单调性；

（2）证明：|f（x）|≤；

（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤．

【分析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出，

（2）根据导数和函数最值的关系即可证明，

（3）利用（2）的结论，根据指数函数的性质即可证明．

【解答】解：（1）f（x）＝sin2xsin2x＝2sin3xcosx，

∴f′（x）＝2sin2x（3cos2x﹣sin2x）＝2sin2x（3﹣4sin2x）＝2sin2x[3﹣2（1﹣cos2x）]＝2sin2x（1+2cos2x），

令f′（x）＝0，解得，x＝，或x＝，