Sn＝3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①

两边同乘2得，2Sn＝3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②

①﹣②得，﹣Sn＝3×2+2×22+…+2×2n﹣（2n+1）2n+1

＝6+﹣（2n+1）2n+1，

所以Sn＝（2n﹣1）2n+1+2．

【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法和数列求和，考查了转化思想和计算能力，属中档题．

18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400人次＞400

空气质量好

空气质量不好

附：K2＝

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；

（3）由公式计算k的值，从而查表即可，

【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为2的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为3的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为4的概率为：＝；

（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；

（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，

人次≤400 人次＞400 总计

空气质量好 33 3770

空气质量不好 22 8 30

总计 5545100

由表中数据可得：K2＝＝≈5.820＞3.841，

所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．

19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．

（1）证明：点C1在平面AEF内；

（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．