【分析】（1）在AA1上取点M，使得A1M＝2AM，连接EM，B1M，EC1，FC1，由已知证明四边形B1FAM和四边形EDAM都是平行四边形，可得AF∥MB1，且AF＝MB1，AD∥ME，且AD＝ME，进一步证明四边形B1C1EM为平行四边形，得到EC1∥MB1，且EC1＝MB1，结合AF∥MB1，且AF＝MB1，可得AF∥EC1，且AF＝EC1，则四边形AFC1E为平行四边形，从而得到点C1在平面AEF内；

（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面AEF的一个法向量与平面A1EF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣EF﹣A1的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．

【解答】（1）证明：在AA1上取点M，使得A1M＝2AM，连接EM，B1M，EC1，FC1，

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有DD1∥AA1∥BB1，且DD1＝AA1＝BB1．

又2DE＝ED1，A1M＝2AM，BF＝2FB1，∴DE＝AM＝FB1．

∴四边形B1FAM和四边形EDAM都是平行四边形．

∴AF∥MB1，且AF＝MB1，AD∥ME，且AD＝ME．

又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AD∥B1C1，且AD＝B1C1，

∴B1C1∥ME且B1C1＝ME，则四边形B1C1EM为平行四边形，

∴EC1∥MB1，且EC1＝MB1，

又AF∥MB1，且AF＝MB1，∴AF∥EC1，且AF＝EC1，

则四边形AFC1E为平行四边形，

∴点C1在平面AEF内；

（2）解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以C1为坐标原点，

分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AB＝2，AD＝1，AA1＝3，2DE＝ED1，BF＝2FB1，

∴A（2，1，3），B（2，0，2），F（0，1，1），A1（2，1，0），

则，，．

设平面AEF的一个法向量为．

则，取x1＝1，得；

设平面A1EF的一个法向量为．

则，取x2＝1，得．

∴cos＜＞＝＝．

设二面角A﹣EF﹣A1为θ，则sinθ＝．

∴二面角A﹣EF﹣A1的正弦值为．

【点评】本题考查平面的基本性质与推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．

20．（12分）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．

【分析】（1）根据e＝，a2＝25，b2＝m2，代入计算m2的值，求出C的方程即可；

（2）设出P，Q的坐标，得到关于s，t，n的方程组，求出AP（8，1），AQ（11，2），从而求出△APQ的面积．

【解答】解：（1）由e＝得e2＝1﹣，即＝1﹣，∴m2＝，

故C的方程是：+＝1；

（2）由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），

根据对称性，只需考虑n＞0的情况，

此时﹣5＜s＜5，0＜t≤，

∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，

又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，