乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

【分析】（1）根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率；

（2）根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可．

【解答】解：（1）由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故频率为＝0.4，

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为＝0.28，

故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别是0.4，0.28；

（2）由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，

故其平均利润为（90﹣25）×0.4+（50﹣25）×0.2+（20﹣25）×0.2+（﹣50﹣25）×0.2＝15（元）；

同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，

故其平均利润为（90﹣20）×0.28+（50﹣20）×0.17+（20﹣20）×0.34+（﹣50﹣20）×0.21＝10（元）；

因为15＞10，所以选择甲分厂承接更好．

【点评】本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．

18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．

（1）若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；

（2）若sinA+sinC＝，求C．

【分析】（1）根据题意，B＝150°，通过余弦定理，即可求得c＝2，a＝2，进而通过三角形面积公式＝．

（2）通过三角形三边和为180°，将A＝180°﹣150°﹣C代入sinA+sinC＝，根据C的范围，即可求得C＝15°．

【解答】解：（1）△ABC中，B＝150°，a＝c，b＝2，

cosB＝＝＝，

∴c＝2（负值舍去），a＝2，

∴＝．

（2）sinA+sinC＝，

即sin（180°﹣150°﹣C）+＝，

化简得＝，

sin（C+30°）＝，

∵0°＜C＜30°，

∴30°＜C+30°＜60°，

∴C+30°＝45°，

∴C＝15°．

【点评】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，结合三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于基础题．

19．（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P﹣ABC的体积．

【分析】（1）首先利用三角形的全等的应用求出AP⊥BP，CP⊥BP，进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论．

（2）利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果．