【解答】解：（1）连接OA，OB，OC，△ABC是底面的内接正三角形，

所以AB＝BC＝AC．

O是圆锥底面的圆心，所以：OA＝OB＝OC，

所以AP＝BP＝CP＝OA2+OP2＝OB2+OP2＝OC2+OP2，

所以△APB≌△BPC≌△APC，

由于∠APC＝90°，

所以∠APB＝∠BPC＝90°，

所以AP⊥BP，CP⊥BP，

由于AP∩CP＝P，

所以BP⊥平面APC，

由于BP⊂平面PAB，

所以：平面PAB⊥平面PAC．

（2）设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

所以．

由于圆锥的侧面积为π，

所以，整理得（r2+3）（r2﹣1）＝0，

解得r＝1．

所以AB＝＝．

由于AP2+BP2＝AB2，解得

则：＝．

【点评】本题考查的知识要点：面面垂直的判定和性质的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．

20．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）．

（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

【分析】（1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；

（2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不合题意；当a＞0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a的取值范围．

【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f′（x）＝ex﹣a．

（1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝0．

∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

（2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不合题意；

当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，

当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）＝a﹣a（lna+2）＝﹣a（1+lna）．

又当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞．

∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可，

则1+lna＞0，可得a＞．