（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400人次＞400

空气质量好

空气质量不好

附：K2＝

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；

（3）由公式计算k的值，从而查表即可，

【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为2的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为3的概率为：＝；

该市一天的空气质量等级为4的概率为：＝；

（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；

（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，

人次≤400 人次＞400 总计

空气质量好 33 3770

空气质量不好 22 8 30

总计 5545100

由表中数据可得：K2＝＝≈5.820＞3.841，

所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．

19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：

（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；

（2）点C1在平面AEF内．

【分析】（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，可得AC⊥平面BB1D1D，因为EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC．

（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接DM，C1F，MF．根据已知条件可得四边形AED1M为平行四边形，得D1M∥AE，再推得四边形C1D1MF为平行四边形，所以D1M∥C1F，根据直线平行的性质可得AE∥C1F，所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内．

【解答】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以BB1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1，

因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，所以ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩BB1＝B．

所以AC⊥平面BB1D1D，又因为点E，F分别在棱DD1，BB1上，所以EF⊂平面BB1D1D，

所以EF⊥AC．

（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接D1M，C1F，MF．

因为点E在DD1，且2DE＝ED1，所以ED∥AM，且ED＝AM，

所以四边形AED1M为平行四边形，所以D1M∥AE，且D1M＝AE，

又因为F在BB1上，且BF＝2FB1，所以 A1M∥FB1，且A1M＝FB1，

所以A1B1FM为平行四边形，

所以FM∥A1B1，FM＝A1B1，即FM∥C1D1，FM＝C1D1，