BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。

分析：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．

（II）要求满足条件使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长．

解答：解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，

则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）

即AP⊥BC

令x=5

故AM=3

综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3

点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答本题的关键．

21、（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M

（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程．

考点：圆与圆锥曲线的综合。

专题：综合题。

（II）由于已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），所以可以设出点P的坐标，利用过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，也可以设出点A，B的坐标，再设出过P的圆C2的切线方程，利用交与抛物线C2两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP⊥AB，得到方程进而求解．

解答：解：（I）由题意画出简图为：

由于抛物线C1：x2=y，

利用圆C2：x2+（y﹣4）2=1的方程得起圆心M（0，4），

（II）设点P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；

由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，

设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①

设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，

代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x02=0 则x1，x2应为此方程的两个根，

故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0

点评：此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程．

22、（2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R

（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；

（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3a]，恒有f（x）≤4e2成立．

注：e为自然对数的底数．

考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。

专题：计算题。

分析：（I）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．

（II）对a分类讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围．

因为x=e是f（x）的极值点，

所以f′（e）=0