【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．

【分析】（I）由题意．因为PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上所以BC⊥PO．有AB=AC，D为BC的中点，得到BC⊥AD，进而得到线面垂直，即可得到所证；

（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA⊥平面BMC，再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即可．

【解答】解：（I）由题意画出图如下：

由AB=AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，

又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，

∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．

（II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，

∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B﹣AP﹣C的平面角，

在直角三角形ADB中，；

在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，∴PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，

在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，

又cos∠BPA=，从而．

故BM=，

∵BM2+MC2=BC2，∴二面角B﹣AP﹣C的大小为90°．

【点评】（I）此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了线面垂直的性质定理；

（II）此问考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解．

21．（15分）（2011•浙江）设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0，且f（1）≥e﹣1．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间

（Ⅱ）求所有的实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【专题】导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）直接利用导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减来求f（x）的单调区间即可．

（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出f（x）在[1，e]上的最值，把原不等式转化为比较f（x）在[1，e]上的最值与两端点值之间的关系即可求所有的实数a．

【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=a2lnx﹣x2+ax，其中x＞0．

所以f'（x）=﹣2x+a=﹣．

由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．

（Ⅱ）证明：由题得，f（1）=a﹣1≥e﹣1，即a≥e，

由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增

要使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，

只要

解得a=e．

【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

22．（15分）（2011•浙江）如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=﹣3于A，B两点．

（Ⅰ）求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离．

（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】圆锥曲线的综合；抽象函数及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．