解可得或（舍）；

即B的坐标为（，，0），

又舍D的坐标为（0，y2，z2），

由||=1，||=2，有（y2﹣1）2+z22=1且（y2+1）2+z22=1；

解可得或（舍），

则D的坐标为（0，，），

从而可得△ACD边AC的高为h=|z2|=

又||=，||=1；

故四面体的体积V=××||×||h=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（，，0），=（0，，），

设非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由⊥可得，l+m=0，（1）；

由⊥可得，m+n=0，（2）；

取m=﹣1，由（1）（2）可得，l=，n=，即=（，﹣1，）

显然=（0，0，1）是平面ABC的法向量，

从而cos＜，＞=；

故tan＜，＞=；

则二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为．

【点评】本题是立体几何综合题目，此类题目一般有两种思路即几何法与向量法，注意把握两种思路的特点，进行选择性的运用．

21．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是x=2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：=+2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由．

【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用；椭圆的定义

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ） 由题意得 =，==2，解出a、b 的值，即得椭圆的标准方程．

（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）． 由向量间的关系得到 x=x1+2x2，y=y1+2y2，据

M、N是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4（x1x2+2y1y2 ）．再根据直线OM与ON的斜率之积为﹣，得到点P是椭圆

x2+2y2=20 上的点，根据椭圆的第二定义，存在点F（，0），满足条件．

【解答】解：（Ⅰ） 由题意得 =，==2，∴a=2，b=，

故椭圆的标准方程为 +=1．

（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）．∵动点P满足：=+2，

∴（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2 ），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2，

∵M、N是椭圆上的点，∴x12+2y12﹣4=0，x22+2y22﹣4=0．

∴x2+2y2=（x1+2x2）2+2 （y1+2y2）2=（x12+2y12 ）+4（x22+2y22 ）+4（x1x2+2y1y2 ）

=4+4×4+4（x1x2+2y1y2 ）=20+4（x1x2+2y1y2 ）．

∵直线OM与ON的斜率之积为﹣，∴•=﹣，∴x2+2y2=20，

故点P是椭圆 =1 上的点，焦点F（，0），准线l：x=2，离心率为，

根据椭圆的第二定义，|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值，

故存在点F（，0），满足|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值．