解可得或
(舍);
即B的坐标为(,
,0),
又舍D的坐标为(0,y2,z2),
由||=1,|
|=2,有(y2﹣1)2+z22=1且(y2+1)2+z22=1;
解可得或
(舍),
则D的坐标为(0,,
),
从而可得△ACD边AC的高为h=|z2|=
又||=
,|
|=1;
故四面体的体积V=×
×|
|×|
|h=
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知=(
,
,0),
=(0,
,
),
设非零向量=(l,m,n)是平面ABD的法向量,则由
⊥
可得,
l+
m=0,(1);
由⊥
可得,
m+
n=0,(2);
取m=﹣1,由(1)(2)可得,l=,n=
,即
=(
,﹣1,
)
显然=(0,0,1)是平面ABC的法向量,
从而cos<,
>=
;
故tan<,
>=
;
则二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为.
【点评】本题是立体几何综合题目,此类题目一般有两种思路即几何法与向量法,注意把握两种思路的特点,进行选择性的运用.
21.(12分)(2011•重庆)如图,椭圆的中心为原点0,离心率e=,一条准线的方程是x=2
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:=
+2
,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为﹣
,问:是否存在定点F,使得|PF|与点P到直线l:x=2
的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由.
【考点】椭圆的简单性质;向量在几何中的应用;椭圆的定义
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(Ⅰ) 由题意得 =
,
=
=2
,解出a、b 的值,即得椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设动点P(x,y),M(x1,y1 )、N(x2,y2 ). 由向量间的关系得到 x=x1+2x2,y=y1+2y2,据
M、N是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4(x1x2+2y1y2 ).再根据直线OM与ON的斜率之积为﹣,得到点P是椭圆
x2+2y2=20 上的点,根据椭圆的第二定义,存在点F(,0),满足条件.
【解答】解:(Ⅰ) 由题意得 =
,
=
=2
,∴a=2,b=
,
故椭圆的标准方程为 +
=1.
(Ⅱ)设动点P(x,y),M(x1,y1 )、N(x2,y2 ).∵动点P满足:=
+2
,
∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2 ),∴x=x1+2x2,y=y1+2y2,
∵M、N是椭圆上的点,∴x12+2y12﹣4=0,x22+2y22﹣4=0.
∴x2+2y2=(x1+2x2)2+2 (y1+2y2)2=(x12+2y12 )+4(x22+2y22 )+4(x1x2+2y1y2 )
=4+4×4+4(x1x2+2y1y2 )=20+4(x1x2+2y1y2 ).
∵直线OM与ON的斜率之积为﹣,∴
•
=﹣
,∴x2+2y2=20,
故点P是椭圆 =1 上的点,焦点F(
,0),准线l:x=2
,离心率为
,
根据椭圆的第二定义,|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值
,
故存在点F(,0),满足|PF|与点P到直线l:x=2
的距离之比为定值.