考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率。

专题：计算题。

分析：（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222，得到概率．

（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．

解答：解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率

试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，

满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222

∴根据等可能事件的概率公式得到P==

（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3

P（ξ=1）=，

P（ξ=2）=，

P（ξ=3）=

∴ξ的分布列是

∴Eξ=

点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．

18．（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．

（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

（II）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。

专题：计算题；综合题；转化思想。

分析：（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．

解答：解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3

令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣\frac{3}{2}x2﹣3x+1

∴f（1）=﹣，

又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，

故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x

从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x

令g'（x）=0，则x=0或x=3

∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，

当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，

当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，

∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．

19．（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°

（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．

（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．